Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n…

Вероятность и статистика9 классРешено по фото 14 октября 2026 в 20:34

Игра с монетами, выигрышные позиции

Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит $n$ монет. За один ход разрешается снять со стола 1, 3, 6 или 8 монет. Выигрывает тот, кто снимет последнюю монету. При каких $n$ первый игрок может выиграть независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты: 83, 84, 85, 86, 87, 88 (список на фото обрезан, видны варианты до 88).

Решение

Позиция проигрышная (П), если игрок, которому ходить, проигрывает. Позиция выигрышная (В), если из неё можно перейти в проигрышную.

— П.
: можно взять и прийти в , значит В.
: можно прийти только в (В), значит П.
: можно прийти в , значит В.
: можно прийти в или (обе В), значит П.
: можно прийти в (П), значит В.
: можно прийти в , значит В.
: можно прийти в (П), значит В.
: можно прийти в , значит В.
: можно прийти в , , , (все В), значит П.
: можно прийти в (П), значит В.
: можно прийти в , , , (все В), значит П.
: можно прийти в (П), значит В.
: можно прийти в , , , (все В), значит П.
: можно прийти в (П), значит В.
: можно прийти в (П), значит В.
: можно прийти в (П), значит В.
: можно прийти в (П), значит В.
: можно прийти в , , , (все В), значит П.

Проигрышные позиции: , , , , , , , , , , ... Они повторяются с периодом : проигрышны , дающие при делении на остатки , , .

Проверяем варианты:
: остаток , первый проигрывает.
: остаток , первый выигрывает.
: остаток , первый проигрывает.
: остаток , первый выигрывает.
: остаток , первый выигрывает.
: остаток , первый выигрывает.

💡 Почему так

Первый игрок выигрывает, если при делении на даёт остаток , , , , или . Он каждым ходом отдаёт сопернику проигрышную позицию.

Ответ

✓ dzmen.ru

, , ,

Помогло?

Есть ещё задание?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.

Решить по фото

Решить своё по фото