Два старых пирата Джек и Билли зарыли один и тот… (математика)

№ Координаты точек на плоскости, пересечение маршрутов

Два старых пирата Джек и Билли зарыли один и тот же клад, но записали маршрут к нему по-разному. Джек всегда записывал координаты в обычном порядке: сначала шаги на восток — по оси X, затем шаги на север — по оси Y. Билли всё записывал наоборот: сначала шаги на север, затем на восток.

Маршрут Джека: А(−3; 4) → Б(0; 2) → В(3; 4) → Г(4; −1) → Д(1; −3).
Маршрут Билли: Е(0; −2) → Ж(5; 3) → З(5; 5) → И(1; 6) → К(−5; 3).
Известно, что клад находится в точке пересечения их маршрутов. Найдите координаты места, где зарыт клад.

Решение

Билли записывал (север; восток), то есть (y; x). Переведём его точки в обычный порядок (x; y), поменяв числа местами:

Е(; −) → Е(−; ); Ж(; ) → Ж(; ); З(; ) → З(; ); И(; ) → И(; ); К(−; ) → К(; −).

Маршрут Билли: (−; ) → (; ) → (; ) → (; ) → (; −).
Маршрут Джека: (−; ) → (; ) → (; ) → (; −) → (; −).

Звено Билли Е–Ж лежит на прямой . Точка Б(; ) этой прямой принадлежит: . Б — вершина маршрута Джека, а точка (; ) лежит между Е(−; ) и Ж(; ). Значит, маршруты пересекаются в Б.

Остальные звенья не пересекаются:

Ж–З лежит на прямой , а у Джека .
З–И и И–К уходят вправо и вниз, на . Звено В–Г Джека: от до , а при точка Билли (; −) лежит ниже маршрута Джека. Пересечения нет.

Ответ

Клад зарыт в точке (; ).

№ Ход слона

На какой клетке стоит слон, если он может двигаться только по диагонали и одним ходом может попасть на клетки b2, d6 и g3? Если возможны несколько вариантов, укажите все.

Решение

Запишем клетки числами (буква — номер столбца, цифра — строка): b = (; ), d = (; ), g = (; ).

Клетка (x; y) лежит на диагонали с клеткой, если у них равны разности или суммы .

b: или .
d: или .
g: или .

Нужна клетка, лежащая на одной диагонали с каждой из трёх.

Диагональ общая у d и g. Пересечём её с диагональю b :
, то есть клетка e.

Другие варианты:

и дают a, но a не стоит на одной диагонали с g.
Диагонали и пересекаются вне доски.
Остальные пары диагоналей параллельны или дают сами клетки d, g.

Проверка: e → b (три клетки вниз-влево), e → d (одна клетка вверх-влево), e → g (две клетки вниз-вправо).

Ответ

Слон стоит на клетке e (единственный вариант).

№ Расстановка кораблей

На стандартном поле 10 × 10 размещены два корабля:

трёхпалубный (три клетки в ряд горизонтально);
однопалубный (одна клетка), который стоит в клетке Г4.
Корабли не соприкасаются друг с другом даже углами. Известно, что трёхпалубный корабль расположен в строке 3. Найдите все возможные положения трёхпалубного корабля (укажите координаты всех трёх клеток для каждого варианта).

Решение

Столбцы: А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К (номера –).

Однопалубный корабль в Г. Соседние с ним клетки, включая угловые, — это В, Г, Д, В, Д, В, Г, Д. В строке для трёхпалубного корабля запрещены В, Г, Д.

Три клетки подряд в строке не должны содержать столбцы В, Г, Д (, , ):

А–В и Б–Г содержат В или Г, не подходят.
В–Д, Г–Е, Д–Ж тоже содержат запрещённые клетки.
Подходят расположения в столбцах Е–К: Е–Ж–З, Ж–З–И, З–И–К.

Ответ

Три варианта:

Е, Ж, З
Ж, З, И
З, И, К

Помогло?

Два старых пирата Джек и Билли зарыли один и тот же клад,…