1) √[3]2x+3=1; 2) √[3]1-x=2; 3) √[3]3x²-3=√[3]8x. (алгебра)

№

Иррациональные уравнения

⚠️

Задания – обрезаны правым краем фото, условия видны только частично, поэтому они не решены. Сфотографируйте правую страницу отдельно, ближе и крупнее.

$3 2 x + 3 = 1$ ;
$3 1 - x = 2$ ;
$3 3 x^{2} - 3 = 3 8 x$ .

Решение

Кубический корень определён для любого числа, поэтому проверка не нужна. Обе части возводим в куб.

, откуда , .
, откуда .
Приравниваем подкоренные выражения: , то есть .
, , откуда или .

💡 Почему так

Корень нечётной степени существует при любом подкоренном выражении, поэтому возведение в степень не даёт посторонних корней.

Ответ

;
;
;

№

Иррациональные уравнения

$x + 1 = 1 - x$ ;
$x = 1 + x + 11$ ;
$x + 3 = 5 - x$ ;
$x^{2} - x - 3 = 3$ .

Решение

Корень чётной степени неотрицателен, поэтому после возведения в квадрат корни проверяем.

Возводим в квадрат: , то есть , откуда или .
При левая часть равна , это посторонний корень. При : , верно.
Переносим: , причём . Возводим в квадрат: , то есть , откуда или .
не подходит, так как . При : , верно.
, , . Проверка: , верно.
, то есть , откуда или .
Проверка: при , ; при , . Оба корня подходят.

💡 Почему так

Если часть уравнения равна корню, она должна быть неотрицательной. Иначе после возведения в квадрат появляются посторонние корни.

Ответ

;
;
;
;

№

Иррациональные уравнения

$x - x = - 12$ ;
$x + x = 2 (x - 1)$ ;
$x - 1 = x - 3$ ;
$6 + x - x^{2} = 1 - x$ .

Решение

Запишем и введём . Тогда , то есть , откуда или .
не подходит. , . Проверка: , верно.
, откуда . Пусть : , откуда или .
не подходит. . Проверка: , верно.
Условие: . Возводим в квадрат: , то есть , откуда или .
не подходит, так как . При : , верно.
Условие: . Возводим в квадрат: , то есть .
, , откуда или .
не подходит, так как . При : , верно.

💡 Почему так

В пунктах и удобна замена , она сводит уравнение к квадратному. В пунктах и после возведения в квадрат проверяем условие, что правая часть неотрицательна.

Ответ

;
;
;

№

Иррациональные уравнения

$2 x - 34 = 1 + x$ ;
$5 x + 14 - x = 8$ ;
$15 + x + 3 + x = 6$ ;
$3 - 2 x - 1 - x = 1$ .

Решение

Возводим в квадрат: , откуда . Пусть : , откуда или .
не подходит. . Проверка: , верно.
Запишем и возведём в квадрат: . Отсюда .
Пусть , тогда и , то есть . Получаем или .
не подходит. , . Проверка: , верно.
Пусть , . Тогда и .
Значит, , откуда . Получаем , , , . Проверка: , верно.
Запишем и возведём в квадрат: . Отсюда .
Пусть : , откуда или . Тогда или .
Проверка: при ; при . Оба корня подходят.

💡 Почему так

Если в уравнении два корня, уединяем один из них и возводим в квадрат. Затем делаем замену или повторяем действие, пока корней не останется.

Ответ

;
;
;
;

№

Иррациональные уравнения

$x^{2} + 2 + x^{3} + x^{2} = 0$ ;
$3 1 + x^{4} = 3 1 + x^{2}$ .

Решение

Первое слагаемое , второе . Их сумма строго положительна и нулю не равна. Корней нет.
Возводим в куб: , откуда , то есть .
Получаем или .

💡 Почему так

Сумма положительного и неотрицательного чисел не может быть равна нулю. В пункте корень нечётной степени, поэтому проверка не нужна.

Ответ

корней нет;
; ;

Помогло?