1) √[3]2x+3=1; 2) √[3]1-x=2; 3) √[3]3x²-3=√[3]8x. (алгебра)

№

Иррациональные уравнения с кубическими корнями

⚠️

Решены номера – (они целиком видны на странице). Номера – на правой странице обрезаны, условия видны лишь частично, поэтому их не решаю. Чтобы решить их, пришлите отдельное фото правой страницы, ближе и крупнее.

$3 2 x + 3 = 1$ ;
$3 1 - x = 2$ ;
$3 3 x^{2} - 3 = 3 8 x$ .

Решение

Возводим обе части в куб. Корень нечётной степени определён при любом подкоренном выражении, поэтому проверка не нужна.

, , .
, .
, то есть или .

💡 Почему так

Корень нечётной степени существует для любого числа, и возведение в куб равносильно исходному уравнению, поэтому посторонних корней нет.

Ответ

;
;
и .

№

Иррациональные уравнения с квадратными корнями

$x + 1 = 1 - x$ ;
$x = 1 + x + 11$ ;
$x + 3 = 5 - x$ ;
$x^{2} - x - 3 = 3$ .

Решение

Нужно . Возводим в квадрат:

или .
При левая часть , это посторонний корень. При : верно.
, нужно .

или .
Корень не подходит, так как . При : верно.
, , .
Проверка: верно.
или .
Проверка: при имеем ; при имеем . Подкоренное выражение равно , корни подходят оба.

💡 Почему так

При возведении в квадрат могут появиться посторонние корни, поэтому нужна проверка или условие, что правая часть неотрицательна.

Ответ

;
;
;
и .

№

Иррациональные уравнения, проверка корней

$x - x = - 12$ ;
$x + x = 2 (x - 1)$ ;
$x - 1 = x - 3$ ;
$6 + x - x^{2} = 1 - x$ .

Решение

, нужно .

, то есть или .
Корень не подходит. При : верно.
, нужно .

или .
Корень не подходит. При : верно.
Нужно .

или .
Корень не подходит. При : верно.
Нужно , то есть .

, то есть или .
Корень не подходит. При : верно.

💡 Почему так

Правая часть уравнения вида должна быть неотрицательной, это отсекает посторонние корни.

Ответ

;
;
;
.

№

Иррациональные уравнения с двумя корнями

$2 x - 34 = 1 + x$ ;
$5 x + 14 - x = 8$ ;
$15 + x + 3 + x = 6$ ;
$3 - 2 x - 1 - x = 1$ .

Решение

Возводим в квадрат:

, нужно .

, то есть или .
Корень не подходит. Проверка при : верно.
Возводим в квадрат:

, нужно .

, то есть или .
Корень не подходит. Проверка при : верно.
.
Проверка: верно.
.
Пусть . Тогда , или .
даёт ; даёт .
Проверка: при имеем ; при имеем . Оба верны.

💡 Почему так

Чтобы избавиться от двух корней, уединяют один корень и возводят в квадрат, затем снова уединяют оставшийся корень. В конце обязательна проверка.

Ответ

;
;
;
и .

№

Иррациональные уравнения, особые случаи

$x^{2} + 2 + x^{3} + x^{2} = 0$ ;
$3 1 + x^{4} = 3 1 + x^{2}$ .

Решение

Оба слагаемых неотрицательны, а при любом . Значит, сумма строго положительна и не может равняться нулю. Корней нет.
Возводим в куб:

или .

💡 Почему так

Сумма неотрицательных величин равна нулю, только если каждая равна нулю. Здесь первый корень никогда не равен нулю.

Ответ

корней нет;
, , .

Помогло?