В §, пункте , отрицание импликации означает, что из посылки не следует следствие. Поэтому надо утверждать существование случая, когда условие выполнено, а вывод не выполнен. Просто заменить следствие на противоположное для всех случаев нельзя.
Признак делимости на . Пусть — число, — сумма его цифр на чётных местах, — на нечётных. Отрицание: «Существует натуральное число , для которого разность делится на , а само число на не делится». Оно ложно, поскольку исходный признак верен.
Пример . Отрицание: «Существует число, которое делится на , но не делится на или не делится на ». Слово «или» нужно потому, что исходное следствие требует обеих делимостей одновременно. Отрицание ложно: .
Пример . Отрицание: «Существует связный граф, в котором рёбер хотя бы на два меньше, чем вершин». Здесь сохраняем условие о числе рёбер и отрицаем несвязность. По утверждению этого пункта такого графа нет; отрицание ложно.
Пример . Отрицание: «Существует простое число, которое не является нечётным», то есть «Существует чётное простое число». Оно истинно: число простое и чётное.
Пример . Отрицание: «Существует четырёхугольник с равными и перпендикулярными диагоналями, который не является квадратом». Оно истинно; подходящий пример изображён ниже. Диагонали и равны и перпендикулярны, но , : они не делятся точкой пересечения пополам, как диагонали квадрата.
Пример . Отрицание: «Существует ряд одинаковых чисел, размах которого не равен ». По определению размах — разность максимального и минимального значений. У одинаковых чисел они совпадают: . Поэтому отрицание ложно.
Таким образом, каждое отрицание утверждает наличие исключения из соответствующего условного высказывания.
