№ .Взаимно простые числитель и знаменатель
Дроби 20n и 30c, где n и c — натуральные числа, можно представить в виде десятичных. Могут ли числитель и знаменатель каждой из этих дробей быть взаимно простыми?
Решение
Чтобы несократимую обыкновенную дробь записать конечной десятичной, её знаменатель должен быть делителем некоторой степени числа . Такие знаменатели содержат только простые множители и .
. Если взять, например, , числитель и знаменатель взаимно просты, а . Значит, для первой дроби это возможно.
. Если взаимно просто с , тройка в знаменателе не сократится. Ни одна степень на не делится, поэтому такую несократимую дробь нельзя представить конечной десятичной. Для второй дроби числитель должен содержать множитель , чтобы сократить его со знаменателем; тогда числа не будут взаимно простыми.
