К полю для игры Крестики-нолики добавлена одна клетка. Правила игры при этом остались прежними: Первый ставит крестики, Второй — нолики. Выигрывает тот, кто первым построит ряд из трёх своих значков по горизонтали, вертикали или диагонали. В отличие от игры на обычном поле, в игре Крестики-нолики на таком поле Первый имеет выигрышную стратегию. Куда должен поставить крестик Первый на первом ходу, чтобы наверняка выиграть?
На рисунке к обычному квадратному полю из девяти клеток добавлена десятая клетка слева от нижней левой клетки.
Обозначим клетки буквами. Буква D — средняя клетка левого столбца обычного квадрата; именно в неё поставим первый крестик.
| Добавленная колонка | Левый столбец | Средний столбец | Правый столбец |
|---|---|---|---|
| — | A | B | C |
| — | D | E | F |
| J | G | H | I |
Из-за дополнительной клетки появился диагональный ряд J–D–B. Поэтому крестик в D может участвовать не только в вертикальном ряду A–D–G и горизонтальном D–E–F, но и в новой диагонали J–D–B.
Докажем, что выигрыш гарантирован при любом первом нолике. В таблице указаны второй крестик, вынужденный второй нолик, третий крестик и две клетки, каждая из которых после этого завершает ряд крестиков.
| Первый нолик | Второй крестик | Вынужденный второй нолик | Третий крестик | Две выигрышные клетки |
|---|---|---|---|---|
| A | B | J | E | F и H |
| B или C | A | G | E | F и I |
| E или I | B | J | A | C и G |
| F | A | G | B | C и J |
| G | E | F | B | H и J |
| H или J | E | F | A | G и I |
При втором крестике B возникает угроза закончить диагональ J–D–B, поэтому Второй обязан занять J. При втором крестике A возникает угроза вертикали A–D–G, поэтому Второй обязан занять G. При втором крестике E возникает угроза горизонтали D–E–F, поэтому Второй обязан занять F. Если Второй не закрывает указанную угрозу, Первый сразу достраивает этот ряд и выигрывает.
Проверим двойные угрозы после третьего крестика по строкам таблицы. При первом нолике A крестики B, D, E угрожают закончить D–E–F и B–E–H. При первом нолике B или C крестики A, D, E угрожают закончить D–E–F и A–E–I.
При первом нолике E или I крестики A, B, D угрожают закончить A–B–C и A–D–G. При первом нолике F те же крестики угрожают закончить A–B–C и J–D–B. При первом нолике G крестики B, D, E угрожают закончить B–E–H и J–D–B. Наконец, при первом нолике H или J крестики A, D, E угрожают закончить A–D–G и A–E–I.
Во всех строках обе выигрышные клетки свободны: это видно по перечисленным ходам. За один ход Второй может занять лишь одну из них. Первый ставит четвёртый крестик в другую и получает ряд из трёх. Второй не успевает выиграть своим третьим ходом: после третьего крестика ни одна тройка с его двумя ноликами не может быть достроена. Например, в строке с первым ноликом G второй нолик F не лежит с ним в одном выигрышном ряду; в строке с ноликами C и G их возможная диагональ G–E–C уже занята крестиком E.
Все девять возможных первых ходов Второго включены в таблицу. Следовательно, первый крестик в D обеспечивает выигрышную стратегию.
Первый крестик можно поставить в среднюю клетку левого столбца обычного квадрата — над нижней левой клеткой, к которой слева добавлена новая клетка. Далее Первый создаёт двойную угрозу по указанной стратегии.
