) Верно. Равные хорды окружности стягивают равные дуги. Пусть вписанный -угольник имеет равные стороны. Тогда все дуг, на которые вершины делят окружность, равны (по ). Угол многоугольника при вершине — вписанный угол, он равен половине дуги, на которую опирается, то есть половине дуги из равных дуг, не содержащей вершину . Эта величина одинакова для всех вершин: . Значит, все углы равны. (Такой многоугольник — правильный.)
) Неверно. Контрпример: прямоугольник, не являющийся квадратом. Его можно вписать в окружность (центр — точка пересечения диагоналей), все углы равны , но соседние стороны не равны.
) Неверно. Контрпример: ромб, не являющийся квадратом. Ромб можно описать около окружности (центр — точка пересечения диагоналей, равноудалённая от всех сторон), все стороны равны, но углы не равны (противолежащие равны, соседние дают в сумме и различны).
) Верно. Пусть многоугольник описан около окружности с центром , все его углы равны . Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе каждого угла. Пусть и — точки касания сторон с окружностью, выходящих из вершины . Тогда , , и . Прямоугольные треугольники при каждой вершине имеют общий по величине катет и равный острый угол , поэтому они равны по катету и прилежащему острому углу. Значит, отрезки касательных от каждой вершины до точки касания равны одному и тому же числу . Каждая сторона состоит из двух таких отрезков касательных (к соседним вершинам, по свойству касательных, проведённых из одной точки), поэтому все стороны равны .
Вывод: верны утверждения ) и ); утверждения ) и ) неверны.
