Основанием пирамиды является равносторонний треугольник, сторона которого равна 103 см. Высота пирамиды равна 12 см. Боковые грани пирамиды являются равновеликими треугольниками. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Дано: равностороннее основание со стороной
Найти: площадь боковой поверхности.
-
Основания всех трёх боковых треугольников равны
, а площади равны. Из формулы следует равенство их высот . -
Пусть
— проекция вершины. По теореме о трёх перпендикулярах (§ ) высота каждой боковой грани проектируется в перпендикуляр от к прямой соответствующей стороны. По теореме Пифагора . Поэтому все три расстояния равны. -
Следовательно,
— центр вписанной либо одной из вневписанных окружностей основания, как разобрано в § . Для равностороннего треугольника Каждый вневписанный радиус равен
см: это следует из , и . -
При
высота грани см. Периметр основания см, поэтому -
При
имеем см. Тогда
Оба типа положения проекции удовлетворяют равенству площадей боковых граней.
