Номер 18.5 ГДЗ Геометрия 10 класс, Мерзляк 2024, страница 191

Дано: прямые , пересекающиеся в точке ; — их общая плоскость.

Найти: ГМТ с равными расстояниями до и .

Решение:

1. Пусть — точка пространства, а — её ортогональная проекция на . Из опустим перпендикуляры и соответственно на . По теореме о трёх перпендикулярах (§) и , поэтому расстояния от до прямых равны и .

2. Если , треугольники и прямоугольные при , поскольку . По теореме Пифагора

   Поэтому тогда и только тогда, когда . При имеем , и тот же вывод очевиден.

3. В плоскости ГМТ, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, — две прямые, содержащие биссектрисы образованных ими углов. Обозначим их . Они взаимно перпендикулярны, так как половины смежных углов в сумме дают °.

4. Все пространственные точки, проекции которых лежат на , образуют плоскость через , перпендикулярную (§). Аналогично прямая даёт вторую такую плоскость. По пункту каждая точка этих плоскостей подходит, а любая подходящая точка принадлежит одной из них.

Таким образом, искомое множество — объединение двух биссекторных плоскостей.