Докажите, что если две соседние вершины четырёхугольника и точка пересечения его диагоналей принадлежат одной плоскости, то и две другие вершины принадлежат этой плоскости.
Дано: четырёхугольник
Доказать:
-
По определению точки пересечения диагоналей
и . В невырожденном четырёхугольнике не совпадает с его вершинами, поэтому и — разные точки одной диагонали, а и — разные точки другой. -
Точки
и принадлежат плоскости . По аксиоме А вся прямая лежит в . -
Через две различные точки проходит только одна прямая. Поскольку
и лежат на , прямые и совпадают. Следовательно, и . -
Аналогично
, поэтому по А прямая принадлежит . Она совпадает с , так как обе проходят через и . -
Отсюда
, следовательно, .
Таким образом, обе оставшиеся вершины принадлежат той же плоскости. Выбор другой пары соседних вершин меняет только обозначения в доказательстве.
