ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян, номер 870

№

Пересечение параболы и окружности

Исследуйте взаимное расположение параболы $y=x^2$ и окружности радиуса $R$ с центром в точке $(0;R)$ в зависимости от $R$ .

Решение

Дано: парабола и окружность , . Найти их общие точки и вид соприкосновения.

По определению окружности с центром её уравнение . Подставим уравнение параболы : .
Раскроем квадрат: . После сокращения получаем .
Корень существует при всяком ; тогда , то есть общая точка . Прямая касается параболы в её вершине по свойству параболы (п. ) и окружности в нижней точке, поскольку радиус вертикален. Значит, кривые касаются в при любом .
Если , то , дополнительных действительных корней нет: — единственная общая точка. При также только точка , причём уравнение пересечения становится .
Если , то даёт . По уравнению параболы их ордината . Это ещё две общие точки. Следовательно, помимо касания в начале координат, кривые пересекаются в этих точках.

💡 Почему так

В ответах учебника не указан случай . Подстановка показывает, что и тогда у кривых есть общая точка с общей касательной .

Ответ

При касаются только в . При касаются в и пересекаются в и .

Помогло?

Номер 870