ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян, номер 848

№

Площадь описанного четырёхугольника

Докажите, что: а) площадь $S$ четырёхугольника со сторонами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , описанного около окружности, выражается формулой $S=\sqrt{abcd}\sin\dfrac{B+D}{2}$ ; б) если четырёхугольник со сторонами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ является одновременно описанным и вписанным, то его площадь $S$ выражается формулой $S=\sqrt{abcd}$ .

Решение

Дано: выпуклый , , , , , , ; в а) четырёхугольник описан около окружности, в б) также вписан в окружность.

а) Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны (п. ). Складывая их вдоль четырёх сторон, получаем свойство описанного четырёхугольника . Поэтому полупериметр .

По формуле задачи а

Подставляем

. Значит, произведение четырёх скобок равно

. По основному тригонометрическому тождеству

Для выпуклого четырёхугольника

, следовательно, синус половины этой суммы положителен. Берём положительный квадратный корень:

б) Если четырёхугольник ещё и вписанный, по свойству противоположных углов (п. ) . Тогда , и формула пункта а) даёт .

Ответ

а) .
б) .

Помогло?

Номер 848