ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян, номер 78

№

Сечение параллелепипеда через равные доли рёбер

На рисунке 42 изображён параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ , на рёбрах которого отмечены точки $M$ , $N$ , $M_1$ и $N_1$ так, что $AM=CN=A_1M_1=C_1N_1$ . Докажите, что $MBNDM_1B_1N_1D_1$ — параллелепипед.

Решение

Дано: точки , , , и четыре указанных отрезка равны. Доказать: — параллелепипед.

Доказательство.

В основании противоположные стороны и равны и параллельны. Вычитая равные отрезки , получаем . Отрезки и параллельны как части параллельных сторон. По признаку параллелограмма четырёхугольник — параллелограмм.
В верхнем основании аналогично из и следует и . Значит, — параллелограмм.
Рёбра параллельны и равны. Для и это следует из соответствующих равных отрезков на параллельных гранях: , . Поэтому боковые грани , , , — параллелограммы.
Получено тело с шестью гранями-параллелограммами; по определению это параллелепипед.

Ответ

— параллелепипед.

Помогло?

Номер 78