ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян, номер 724

№

Отражение плоскости

При зеркальной симметрии относительно плоскости $\alpha$ плоскость $\beta$ отображается на плоскость $\beta_1$ . Докажите, что если: а) $\beta\parallel\alpha$ , то $\beta_1\parallel\alpha$ ; б) $\beta\perp\alpha$ , то $\beta_1$ совпадает с $\beta$ .

Решение

Дано: отражение относительно и плоскость .

Доказать оба свойства.

а) По свойству параллельных плоскостей все точки лежат по одну сторону от на одном расстоянии .

Определение зеркальной симметрии помещает каждый образ по другую сторону от на том же расстоянии .

Геометрическое место таких точек — плоскость, параллельная ; значит, .

б) По признаку перпендикулярности плоскостей содержит прямую .

Пусть .

Для каждой её образ лежит на , потому что и проходит через (определение отражения).

В через каждую точку её пересечения с проходит такая перпендикулярная прямая.

Значит, образ каждой точки снова принадлежит .

Отражение обратимо и само себе обратно, поэтому .

Ответ

а) ; б) .

Помогло?

Номер 724