ГДЗ Алгебра 11 класс Мерзляк, страница 32, задание 2

с. ПМ Доказательство свойства взаимно обратных логарифмов

Докажите это следствие самостоятельно.

Следствие 1. Если $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ и $b \neq = 1$ , то выполняется равенство $lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ .

Решение

Из условий , , , следует, что логарифмы и существуют: оба основания допустимы и оба аргумента положительны.

Проверим, что знаменатель в доказываемой формуле не равен нулю. Если бы , то по определению логарифма (§) выполнялось бы . Это противоречит условию . Следовательно, , и деление на него допустимо.

Применим теорему . о переходе от одного основания логарифма к другому. Для выберем новое основание :

Такой выбор разрешён, поскольку и .

По определению логарифма : именно первая степень основания даёт само основание, .

Подставляем найденное значение в числитель:

Умножив обе части на ненулевое число , можно записать то же свойство в виде

Таким образом, при указанных условиях логарифмы и взаимно обратны. Следствие доказано.

Ответ

✓ dzmen.ru

при , , , . Следствие доказано.

Помогло?

Страница 32, задание 2 ГДЗ Алгебра 11 класс, Мерзляк 2024