По определению равносильности, используемому в §, сравниваем множества корней. Различие областей определения само по себе ещё не доказывает различие корней.
) Первое уравнение имеет корень . По свойству нулевого произведения второе имеет корни и . Множества различны: уравнения неравносильны.
) Первое равенство верно при любом действительном по переместительному свойству сложения. Во втором , поэтому дробь определена и равна при любом . Оба множества корней — : уравнения равносильны.
) Дробь равна при , но при не определена. Равенство верно и при . Следовательно, множества и различны: нет.
) По условию существования дроби . Её числитель равен нулю при и −, но допустим только . Во втором уравнении также единственный корень . Следовательно, да.
) У первого уравнения ограничение , а нули числителя — и −. Оба допустимы и совпадают с корнями второго уравнения. Следовательно, да.
) В первом уравнении необходимо . На этой области квадрат корня равен подкоренному выражению, поэтому , откуда . Он не принадлежит области определения, значит, корней нет. Второе уравнение имеет корень −. Следовательно, нет.
) Корень равен нулю тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю. Поэтому у первого уравнения корни и . Для второго оба корня должны быть определены: . Произведение обращается в нуль только при . Следовательно, нет: при разделении корня теряется .
) Синус принимает значения только от − до , поэтому не равен . Показательная функция всегда положительна и не равна −. У обоих уравнений пустое множество корней: да.
) По формулам простейших тригонометрических уравнений первое имеет корни , второе — , . Например, удовлетворяет только первому. Следовательно, нет.
) По основному тригонометрическому тождеству условие равносильно , то есть . Оба множества корней — : да.
) Первое уравнение требует . Умножаем на положительный знаменатель:
Получили невозможное равенство, значит, корней нет. Второе уравнение имеет корни , именно при них тангенс не определён. Следовательно, нет.
) По определению логарифма означает , откуда . Второе означает . Следовательно, нет: отрицательный корень теряется.
) Для первого уравнения , то есть . По обратимости логарифмической функции , откуда . Кандидаты и не удовлетворяют , поэтому корней нет. Второе уравнение даёт , то есть , и его аргумент положителен. Следовательно, нет.
) В первом уравнении основание требует , ; знаменатель не равен нулю. По формуле перехода к новому основанию дробь равна . Уравнение даёт , то есть , но исходное основание недопустимо. Значит, корней нет. Во втором уравнении допустима. Следовательно, нет.
Таким образом, равносильность установлена только там, где совпали все допустимые корни.
