Номер 16.21 ГДЗ Алгебра 11 класс, Мерзляк 2024, страница 154

Пусть степень многочлена нечётна. По доказанной задаче . его можно представить произведением ненулевой действительной постоянной и линейных или квадратичных множителей с действительными коэффициентами.

Степень произведения равна сумме степеней множителей. Если бы все непостоянные множители были квадратными, степень равнялась бы сумме чисел :

Это чётное число, что противоречит условию. Следовательно, среди множителей обязательно есть хотя бы один линейный множитель , где действительные и .

Решим линейное уравнение : переносим и делим на ненулевой коэффициент :

Число действительное, поскольку оно является отношением действительных чисел с ненулевым знаменателем.

При подстановке линейный множитель обращается в нуль. Поэтому всё произведение, то есть , равно нулю. По определению корня многочлена — действительный корень .

Таким образом, нечётность степени не позволяет обойтись только квадратными множителями и гарантирует наличие действительного корня.