ГДЗ Алгебра 11 класс Мерзляк, номер 12.1

№ .Объёмы тел вращения

Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

$y = 2 x + 1$ , $x = 1$ , $x = 0$ , $y = 0$ ;
$y = x^{2} + 1$ , $x = 1$ , $x = 2$ , $y = 0$ ;
$y = x$ , $x = 1$ , $x = 4$ , $y = 0$ ;
$y = x^{2}$ , $y = x$ ;
$y = \frac{1}{x}$ , $y = 0$ , $x = \frac{1}{2}$ , $x = 2$ , $y = x$ .

Решение

По формуле § объём равен интегралу площади поперечного сечения. Если вращается отрезок от оси до высоты , сечение — круг радиуса :

Типичное круговое сечение для пунктов ), ), ), ) показано на схеме; — значение верхней границы при данной абсциссе.

) Функция положительна на , поэтому сечение — круг радиуса .

Опорные значения образующей фигуры:

По формуле объёма и формуле квадрата суммы:

По правилам первообразных § и формуле Ньютона — Лейбница:

) На радиус кругового сечения равен .

Раскрываем квадрат:

По таблице первообразных § и теореме .:

Вычисляем значения:

По формуле Ньютона — Лейбница:

) Радиус сечения неотрицателен на .

Квадрат радиуса равен , поэтому

Здесь использована первообразная степени из §.

) Пересечения графиков находятся из , то есть . Получаем пределы и . На выполняется .

Сечение тела — кольцо: внешний радиус , внутренний — . На схеме показано сечение при .

По формуле площади кольца:

Интегрируем площадь сечения по §:

) Уравнение пересечения прямой и гиперболы:

На положительном отрезке подходит только . При ниже расположена прямая , а при ниже расположена гипербола .

Фигура, в границу которой входят ось абсцисс и обе вертикальные прямые, лежит под меньшим из этих графиков. Поэтому радиус кругового сечения равен до точки и после неё.

По формуле объёма и свойству разбиения интеграла:

По таблице первообразных:

Складываем объёмы частей:

Таким образом, во всех пунктах объём найден интегрированием площади круга или кольца в поперечном сечении.

Ответ

✓ dzmen.ru

;
;
;
;
.

Помогло?

Номер 12.1 ГДЗ Алгебра 11 класс, Мерзляк 2024, страница 113