На отрезке функция непрерывна и неотрицательна. Поэтому по геометрическому смыслу интеграла (§) искомый интеграл равен площади под её графиком.
Опорные значения:
Поместим фигуру в прямоугольник , . По формуле площади прямоугольника его площадь равна
Обозначим через площадь части прямоугольника над графиком. Тогда по аддитивности площади
По определению арксинуса на этом промежутке равенство равносильно . Синус возрастает на , поэтому при фиксированном условие выполняется для .
После перестановки осей часть над графиком превращается в криволинейную трапецию под графиком синуса от до . Перестановка осей сохраняет площадь, следовательно, по теореме .:
По таблице первообразных § первообразная синуса равна . Применяем формулу Ньютона — Лейбница:
Вычитаем площадь дополнения из площади прямоугольника:
Следовательно, значение данного интеграла равно .
