По определению § тавтология истинна при любых значениях составляющих её высказываний. Докажем это рассуждением и таблицей для каждого пункта. В таблицах обозначает истину, — ложь; операции выполняем от внутренних скобок к внешним по определениям §.
) .
Если истинно, из истины следует истина, и импликация равна . Если ложно, условие импликации ложно, поэтому она также равна . Единственный ложный случай потребовал бы одновременно истинности и ложности одного и того же , что невозможно.
В итоговом столбце при всех наборах стоит . Следовательно, выражение является тавтологией.
) .
Высказывание и его отрицание не могут быть истинными одновременно. Поэтому всегда ложно: при ложно отрицание, а при ложно само . Отрицание этой ложной конъюнкции всегда истинно.
В итоговом столбце при всех наборах стоит . Следовательно, выражение является тавтологией.
) .
Как в пункте ), условие всегда ложно. По определению импликации с ложным условием её значение равно при любом выводе. Значит, независимо от истинности всё выражение истинно.
В итоговом столбце при всех наборах стоит . Следовательно, выражение является тавтологией.
) .
Если , внешняя импликация истинна благодаря ложному условию. Если , внутренняя импликация имеет истинный вывод и потому истинна при любом . Тогда внешняя импликация имеет истинные условие и вывод. В обоих случаях получаем .
В итоговом столбце при всех наборах стоит . Следовательно, выражение является тавтологией.
) .
Для ложности дизъюнкции обе импликации должны быть ложными. Первая ложна только при , , а вторая — только при , . Эти условия несовместимы. Поэтому хотя бы одна импликация всегда истинна, а вместе с ней истинна и дизъюнкция.
В итоговом столбце при всех наборах стоит . Следовательно, выражение является тавтологией.
) .
Если внешнее условие ложно, выражение истинно по определению импликации. Если оно истинно, то истинны и . При истинном истинность этой импликации требует истинного . Поэтому внешняя импликация снова истинна: из истинного условия следует истинный вывод.
В итоговом столбце при всех наборах стоит . Следовательно, выражение является тавтологией.
) .
Если внешнее условие ложно, импликация истинна. Если условие истинно, то ложно, но истинно. При ложном это возможно только при ложном : истинное сделало бы импликацию ложной. Поэтому вывод истинен, и всё выражение опять истинно.
В итоговом столбце при всех наборах стоит . Следовательно, выражение является тавтологией.
) .
При ложном внешнем условии всё выражение истинно. Пусть обе внутренние импликации истинны. Если ложно, вывод уже истинен. Если истинно, из истинности следует истинность , а из истинности — истинность . Поэтому и в этом случае истинно. Значит, внешняя импликация всегда истинна.
В итоговом столбце при всех наборах стоит . Следовательно, выражение является тавтологией.
