ГДЗ Алгебра 10 класс Мерзляк, номер 2.15

№ .

Формула включения-исключения для трёх множеств

В олимпиаде приняли участие 46 школьников. Им были предложены 3 задачи. После подведения итогов оказалось, что каждый из участников решил хотя бы одну задачу, причём первую и вторую задачи решили 11 участников, вторую и третью — 8 участников, первую и третью — 5 участников, а все три задачи решили только 2 участника. Докажите, что одну из задач решили не менее половины участников.

Решение

Обозначим через , , множества участников, решивших соответственно первую, вторую и третью задачи. Так как каждый решил хотя бы одну задачу, .

По условию , , , . Участники, решившие все три задачи, входят и в каждое попарное пересечение.

Применяем формулу включения-исключения () §:

Вычисляем сумму вычитаемых чисел: , . Поэтому

Прибавляем к обеим частям:

Половина участников — . Предположим, что каждую из трёх задач решили менее участников. Тогда, поскольку количества целые, каждое из чисел , , не превышает . Их сумма не превышала бы

Но найденная сумма равна , а . Получено противоречие. Следовательно, хотя бы одно из трёх количеств не меньше : одну из задач решили не менее половины участников.

Ответ

✓ dzmen.ru

Хотя бы одну задачу решили не менее участников.

Помогло?

Номер 2.15 ГДЗ Алгебра 10 класс, Мерзляк 2024, страница 20