Гл. ВП Единственность арифметического корня
Каким методом можно доказать единственность арифметического корня из неотрицательного числа? Доказать единственность арифметического корня степени n≥2 из неотрицательного числа a.
Решение
Используем доказательство от противного и свойство возведения неотрицательных чисел в натуральную степень: оно сохраняет строгое неравенство. Предположим, что существуют два различных арифметических корня и из . По определению и . Одно из чисел меньше другого; пусть . Тогда умножение положительных величин даёт , что противоречит . Следовательно, двух различных неотрицательных корней быть не может. Существование корня устанавливается отдельно, а здесь доказана его единственность.
Ответ
Метод от противного: из следует , поэтому два арифметических корня одного числа невозможны.
