Вычислить а) (25)3· 2-132-3 б) 4√[5]32+√[3]-161/64+271/3-361/2 (алгебра и геометрия)

№ Степени и корни

Вычислить а) $\frac{(2^5)^3\cdot 2^{-13}}{2^{-3}}$ б) $4\sqrt[5]{32}+\sqrt[3]{-1\frac{61}{64}}+27^{\genfrac{}{}{}{}{1}{3}}-36^{\genfrac{}{}{}{}{1}{2}}$

Решение

а) .

б) .

Ответ

а) ; б)

№ Корни и формулы сокращённого умножения

Вычислить а) $\sqrt[5]{27^3}\sqrt[5]{2^3 3^2}$ б) $(\sqrt{13}-\sqrt{7})(\sqrt{13}+\sqrt{7})$

Решение

а) .

б) .

Ответ

а) ; б)

№ Иррациональные уравнения

Решите уравнение а) $\sqrt[3]{x+2}=4$ б) $2\sqrt{x}-\sqrt[4]{x}-3=0$

Решение

а) ,

,

.

б) Пусть , где . Тогда :

,

.

С учётом , . Тогда .

Ответ

а) ; б)

№ Решение неравенств методом интервалов

Решите неравенство:

$\frac{(3-x)(x-4)}{(x-9)}\geq0$
$(x+3)(6-x)(x-4)^2<0$ ;

Решение

Критические точки: , и ; точка не входит в область определения. Знак выражения положителен при , кроме точки , где выражение не определено. Нули числителя и включаются.

Ответ: .

При знак выражения определяется произведением . Оно отрицательно при и . Точки , и не входят в решение.

Ответ: .

Ответ

; )

№ Формулы приведения и двойного угла

Вычислите а) $\cos\frac{5\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}+\sin\frac{5\pi}{12}\sin\frac{\pi}{12}$ б) $\frac{12\sin11^\circ\cos11^\circ}{\sin22^\circ}$

Решение

а) .

б) .

Ответ

а) ; б)

№ Тригонометрические функции угла

Вычислите $\cos t$ , $\tg t$ , $\ctg t$ , если $\sin t=\frac45$ и $\frac{\pi}{2}<t<\pi$ .

Решение

Так как угол находится во второй четверти, :

.

,

.

Ответ

, ,

№ Тригонометрические уравнения

Решить уравнения. а) $\cos^2x-\cos x-2=0$ б) $2\sin^2x+3\sin x\cos x-2\cos^2x=0$

Решение

а) Обозначим . Тогда

,

.

Значение невозможно, поэтому и , .

б) При уравнение не выполняется. Делим на :

,

.

Следовательно, или .

Ответ

а) , ; б) или ,

№ Перпендикуляр и наклонная к плоскости

Из точки A на плоскость $\alpha$ опущен перпендикуляр и проведена наклонная. Расстояние от точки A до плоскости равно 12, проекция наклонной на плоскость равна 5. Найдите длину наклонной и угол между наклонной и плоскостью $\alpha$ .

Решение

По теореме Пифагора:

,

.

Угол между наклонной и плоскостью равен углу между наклонной и её проекцией. Для этого угла , поэтому .

Ответ

Длина наклонной — ; угол между наклонной и плоскостью:

№ Расстояние от точки до прямой

Прямая a перпендикулярна плоскости $\alpha$ .

Дано: $AB=14$ . Найти $MD$ .

Решение

Сначала найдём высоту треугольника . Полупериметр равен

.

По формуле Герона площадь треугольника:

.

Тогда

.

Так как перпендикулярна плоскости , она перпендикулярна . Поэтому

.

Ответ