Решить систему сравнений {a₁x ≡ b₁ n₁; a₂x ≡… (теория чисел)

№ Решение системы линейных сравнений (вариант )

⚠️

Номер варианта не указан, поэтому в качестве примера решён вариант . Для другого варианта напиши его номер. В правой половине таблицы (варианты –) значения n₃ обрезаны, эти варианты по фото не решить; для них пришли фото, где таблица видна целиком.

Решить систему сравнений

⎩ ⎨ ⎧ a_{1} x \equiv b_{1} (mod n_{1}) a_{2} x \equiv b_{2} (mod n_{2}) a_{3} x \equiv b_{3} (mod n_{3})

Вариант 1 из таблицы:

a_{1} = 4, a_{2} = 5, a_{3} = 7, b_{1} = 2, b_{2} = 6, b_{3} = 12, n_{1} = 3, n_{2} = 7, n_{3} = 13

Решение

Подставляем данные варианта :

Решаем каждое сравнение отдельно.

Так как , получаем .
Обратное к по модулю есть , потому что . Тогда .
Обратное к по модулю есть , потому что . Тогда .

Получилась система:

Модули , , попарно взаимно просты, поэтому применяем китайскую теорему об остатках.

Первые два сравнения. Пусть . Тогда , откуда и . Значит, .

Добавляем третье сравнение. Пусть . Условие даёт . Так как , то и . Значит, , так как .

Проверка: ✓; ✓; ✓.

💡 Почему так

Каждое сравнение при умножением на обратное к приводится к виду . Систему сравнений с попарно взаимно простыми модулями решают китайской теоремой об остатках, решение единственно по модулю произведения модулей.

Ответ

Помогло?

Решить систему сравнений {a₁x ≡ b₁ n₁; a₂x ≡ b₂ n₂; a₃x…