Расскажи мне про обратную матрицу и ранг матрицы

. Обратная матрица

Обратная матрица для квадратной матрицы — это матрица , для которой

где — единичная матрица (единицы на главной диагонали, остальные элементы нули).

Условие существования: (матрица невырожденная).

Формула:

где $\tilde{}$ — матрица алгебраических дополнений , а — минор элемента . Транспонированная матрица алгебраических дополнений называется присоединённой.

Для матрицы формула короче:

Пример. Найдём обратную матрицу для

Определитель: , значит, обратная матрица существует.

Проверка:

Другой способ — метод Гаусса (элементарных преобразований): записываем и строчными преобразованиями приводим левую часть к . Тогда справа получится .

. Ранг матрицы

Ранг матрицы , обозначается или , — это наибольший порядок минора, не равного нулю. Эквивалентно, это число линейно независимых строк (или столбцов).

Свойства:

• для матрицы ;
• ранг нулевой матрицы равен ;
• ранг не меняется при элементарных преобразованиях: перестановке строк, умножении строки на число, не равное нулю, прибавлении к строке другой строки, умноженной на число;
• квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда .

Как находить ранг: приводим матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса. Ранг равен числу ненулевых строк.

Пример. Найдём ранг матрицы

Из второй строки вычитаем первую, умноженную на . Из третьей строки вычитаем первую:

Меняем местами вторую и третью строки:

Ненулевых строк две, значит, .

Проверка по минорам: определитель всей матрицы равен , так как вторая строка равна первой, умноженной на . Минор $\left|\begin{array}{cc}& \\ & \end{array}\right|$, значит, ранг равен .