Объясни подробнее как работает метод Гаусса

Идея метода. Систему уравнений преобразуют так, чтобы в каждом следующем уравнении было на одну неизвестную меньше. Получается «ступенчатый» вид. Его решают с конца: из последнего уравнения находят одну неизвестную, потом подставляют её в предыдущие.

Какие преобразования разрешены (решение системы от них не меняется):

1. Поменять уравнения местами.
2. Умножить обе части уравнения на число, не равное нулю.
3. Прибавить к одному уравнению другое, умноженное на число.

Два хода метода:

• Прямой ход: с помощью -го преобразования убираем из всех уравнений, кроме первого. Затем убираем из всех уравнений, кроме первых двух, и так далее.
• Обратный ход: из последнего уравнения находим последнюю неизвестную и поднимаемся вверх, подставляя найденное.

Пример. Решим систему:

Прямой ход.

Шаг . Убираем из второго уравнения. Для этого из него вычитаем первое, умноженное на :

Шаг . Убираем из третьего уравнения. Вычитаем из него первое:

Получилась система:

Шаг . Убираем из третьего уравнения. Умножаем его на и прибавляем второе:

Система приняла ступенчатый вид:

Обратный ход.

Из последнего уравнения:

Из второго уравнения:

Из первого уравнения:

Проверка (подставляем в исходную систему):

Все три равенства верны.

Матричная запись. Чтобы не переписывать буквы, коэффициенты записывают таблицей. Преобразования выполняют над строками:

После прямого хода получаем:

Особые случаи:

• Если получилась строка вида , уравнение лишнее. Тогда решений бесконечно много.
• Если получилась строка вида (ноль равен ненулевому числу), решений нет.