Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а)… (геометрия)

№

Признаки параллелограмма

Докажите, что выпуклый четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, если: а) $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$ ; б) $AB \parallel CD$ , $\angle A = \angle C$ .

Решение

а) Из равенства накрест лежащих углов следует, что и . Значит, — параллелограмм.

б) Так как , то . В выпуклом четырёхугольнике сумма углов равна , поэтому . По условию , следовательно, . Отсюда . Обе пары противоположных сторон параллельны, значит, — параллелограмм.

Ответ

а) — параллелограмм; б) — параллелограмм.

№

Периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если:
а) одна сторона на 3 см больше другой;
б) разность двух сторон равна 7 см;
в) одна из сторон в два раза больше другой.

Решение

Пусть стороны равны и . Тогда , поэтому .

а) . Тогда , откуда см и см.

б) . Тогда , откуда см и см.

в) . Тогда , откуда см и см.

Ответ

а) , см и , см; б) , см и , см; в) см и см.

№

Стороны параллелограмма

Периметр параллелограмма $ABCD$ равен 50 см, $\angle C = 30^\circ$ , а перпендикуляр $BH$ к прямой $CD$ равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.

Решение

В прямоугольном треугольнике угол равен , а — катет, лежащий напротив него. Поэтому см.

Пусть . По формуле периметра:

Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому см и см.

Ответ

см, см.

№

Биссектриса параллелограмма

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$ . Найдите периметр этого параллелограмма, если $BK = 15$ см, $KC = 9$ см.

Решение

Так как , то . Поскольку — биссектриса, . Значит, , и треугольник равнобедренный: см.

см. Тогда

Ответ

см.

№

Периметр параллелограмма

Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

Решение

Биссектриса угла параллелограмма, пересекающая противоположную сторону, отсекает от неё отрезок, равный прилежащей стороне. Значит, одна сторона равна одному из данных отрезков: см или см. Длина другой стороны равна сумме отрезков: см.

Если стороны равны см и см, то см. Если стороны равны см и см, то см.

Ответ

см или см.

Углы параллелограмма

Найдите углы параллелограмма $ABCD$ , если:
а) $\angle A = 84^\circ$ ; б) $\angle A - \angle B = 55^\circ$ ; в) $\angle A + \angle C = 142^\circ$ ; г) $\angle A = 2\angle B$ ;
д) $\angle CAD = 16^\circ$ , $\angle ACD = 37^\circ$ .

Решение

В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма соседних равна .

а) , .

б) Пусть , тогда . По условию:

Тогда

в) , поэтому и . Тогда .

г) Пусть , тогда . Из суммы соседних углов: , значит, . Поэтому , .

д) В треугольнике :

Это угол

параллелограмма. Поэтому

, а

Ответ

а) , ;
б) , ;
в) , ;
г) , ;
д) , .

Стороны и углы параллелограмма

В параллелограмме $MNPQ$ проведён перпендикуляр $NH$ к прямой $MQ$ , причём точка $H$ лежит на стороне $MQ$ . Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что $MH = 3$ см, $HQ = 5$ см, $\angle MNH = 30^\circ$ .

Решение

Так как лежит на стороне , то

В прямоугольном треугольнике

угол

равен

, а

. Сторона

см лежит напротив угла

, значит, гипотенуза

см. В параллелограмме противоположные стороны равны:

см,

см.

В треугольнике угол , поэтому угол параллелограмма равен . Соседний с ним угол равен .

Ответ

см, см; , .

Выпуклость параллелограмма

Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

Решение

В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Внутренние односторонние углы при каждой паре параллельных прямых в сумме равны . Каждый внутренний угол параллелограмма положителен, поэтому из суммы соседних углов следует, что каждый из них меньше . Четырёхугольник, все внутренние углы которого меньше , выпуклый. Следовательно, параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

Ответ

Параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

Помогло?